Teoria da Carteira

....em construção

O velho ditado diz que para não por todos os ovos em uma mesmo cesto. Esse ditado deu  origem à teoria da carteira que foi desenvolvida por Harry Max Markowitz , um economista americano, , em 1952. 

Markowitz (1952) revolucionou à análise de carteiras de investimento. Em contraposição ao pensamento dominante à época, de que a melhor situação para a alocação de recursos era a concentração dos investimentos nos ativos que ofereciam os maiores retornos esperados, Markowitz demonstrou que seria possível obter combinações mais eficientes de alocação de recursos, com melhor relação retorno esperado versus risco incorrido, surgindo assim o conceito de fronteira eficiente.  Markowitz propôs que os ativos deveriam ser escolhidos com base no retorno esperado e variância.

O modelo de Markowitz era fabuloso, mas havia dificuldades técnicas para operacionalizá-lo. William Sharpe, em 1961, que determinou que o melhor computador IBM existente ao início daquela década necessitava de cerca de 33 minutos para realizar uma otimização de uma carteira composta por cem ativos, e isto a um elevado custo de US$ 300, o que inviabilizava testes e simulações. Felizmente, com as inovações tecnológicas, atualmente, calculamos a carteira eficiente em poucos minutos e há softwares gratuitos disponíveis para tal feito. 

Em 1990, Markowitz partilhou o prêmio Nobel de Economia com Merton Miller e William Sharpe (do modelo CAPM) pelas suas contribuições ao desenvolvimento da  teoria  sobre a formação dos preços dos ativos financeiros. Os seus estudos tiveram uma enorme importância, pois fundamentaram o conceito que levou a criação dos fundos de investimento. 

A teoria de Markowitz, conhecida também como teoria da carteira ou teoria do portfólio,  mostra que o risco de uma carteira não é dado simplesmente pela média do risco dos ativos individuais, pois é preciso considerar a correlação existente entre os ativos. Sendo assim, pode-se dizer que a “palavra-chave” que permeia a teoria de Markowitz é o conceito de diversificação, com o intuito de reduzir o risco da carteira.

Isso ocorre porque há correlação entre as movimentações de diversos ativos financeiros. Para propor uma maneira de mensurar o risco de uma carteira foi que surgiu a teoria de Markowitz, a qual traz a equação do risco (desvio-padrão) de uma carteira de dois ativos (A e B) como sendo a seguinte:

σp=(w2A×σ2A)+(w2B×σ2B)+2×wA×wB×COVA,B−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Sendo que σp é o risco, ou desvio-padrão da carteira; w é o peso do ativo na carteira, ou seja, a participação percentual em relação ao total da carteira; σ2 é a variância de dado ativo e COVA,B é a covariância do ativo A com o ativo B.

De maneira simplificada, um gestor de fundos possui uma carteira de investimentos composta de vários ativos. Os ativos podem ir desde ações, criptomoedas, até títulos de renda fixa, tais como títulos públicos ou títulos privados. O retorno desse conjunto de ativos pode ser estimado com base no retorno que cada ativo possui separadamente, ou seja, de acordo com a porcentagem em que os investimentos foram alocados. Já o risco do portfólio pode ser definido a partir da variação dos retornos dos ativos, ou seja, quanto os valores dos retornos se distanciam do valor esperado. Assim, quanto maior a variação dos retornos, maior o seu risco e, de forma lógica, quanto menor a variação, menor o risco.

As premissas fundamentais assumidas do modelo de Markowitz são: 

 1) os investidores avaliariam as carteiras apenas com base no retorno esperado e no desvio padrão dos retornos sobre o horizonte de tempo de um período; 

2) os investidores seriam avessos ao risco. 

3) os investidores estariam sempre insatisfeitos em termos de retorno.

4) seria possível dividir continuamente os ativos, ou seja, ao investidor seria permitido comprar mesmo frações de ações; 

5) existiria uma taxa livre de risco, à qual o investidor tanto poderia emprestar quanto tomar emprestado (premissa não adotada no presente estudo, que trabalhou apenas com ações, além de não permitir vendas a descoberto); 

6) todos os impostos e custos de transação seriam considerados irrelevantes; 

7) todos os investidores estariam de acordo em relação à distribuição de probabilidades das taxas de retorno dos ativos. Isto significa que somente existiria um único conjunto de carteiras eficientes. 

Markowitz provou que existe uma relação retorno e risco, como mostra o gráfico abaixo. A linha denominada Fronteira Eficiente mostra sempre a melhor relação possível entre retorno e risco, indicando qual o ponto ótimo da carteira do retorno esperado em relação ao risco a ser tomado, de acordo com as preferências por risco de cada investidor.

Para fins estritamente didáticos, desenvolvemos uma rotina para calcular o beta de ativos, utilizando o Rstudio. Utilizamos como proxy para o retorno de mercado o índice S&P500. Calculamos o beta de uma carteira de investimentos formada por ações da Merck, Abbvie, Celgene e S&P500. O período analisado foi de 01/01/2013 a 31/12/2017. Os betas individuais obtidos foram 0,74; 1,55; 1,59, respectivamente. Com a diversificação, o beta da carteira obtido foi de 1,21. Um investidor avesso à risco poderia alocar 100% de seus fundos nas ações com menor beta. Entretanto, um investidor com perfil mais agressivo poderia escolher a com maior beta. Nos dois casos, o investidor deveria analisar também o retorno e os dividendos distribuídos pelas empresas. Além disto, outros elementos, tais como evolução das vendas e lucros, poderiam auxiliar a tomada de decisão. 

A estimação da Fronteira Eficiente pode ser feita com o pacote fPortfolio do RStudio.

Referências:

Assaf, N. A. (2007). Mercado financeiro. São Paulo: Editora Atlas.

Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. The Journal of Finance, 7(1), 77–91.

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