Modelos de precificação de ativos

Harry Markowitz, em 1952, deu início ao desenvolvimento  da moderna teoria de carteira e definiu dois parâmetros básicos para seleção de um investimento: a média e a variância dos retornos históricos. A média seria a medida adequada do retorno esperado, que deve ser maximizado, enquanto a variância do retorno poderia mensurar adequadamente o risco, que deve ser minimizado. 

Os modelos de precificação de ativos financeiros, considerando o mercado em equilíbrio, auxiliam na determinação do preço de mercado do risco e o relacionamento entre o retorno esperado e o risco para qualquer ativo. Desses modelos, o primeiro a ser desenvolvido e, ainda hoje, mais utilizado no meio acadêmico, é o Capital Asset Pricing Model (CAPM). O modelo inicialmente foi desenvolvido por Markowitz (1959), mais tarde Sharpe (1964) e Lintner (1965) acrescentam duas premissas ao modelo de Markowitz para identificar uma carteira que deva ser eficiente em média-variância . As contribuições de Sharpe às finanças resultaram no seu agraciamento  com o Prêmio Nobel, em 1990.  

o CAPM ainda é largamente utilizado em aplicações como a estimativa do custo do capital das empresas e a avaliação de carteiras

A pressuposição básica do CAPM é o relacionamento linear entre o retorno de um ativo e seu risco, sendo esse último mensurado pelo beta.  O coeficiente beta, medida obtida do modelo, indica o incremento necessário no retorno de um ativo de forma a remunerar adequadamente seu risco sistemático (ASSAF NETO, 2012, p.251). 

O modelo CAPM demonstra que o retorno esperado de determinado ativo depende de três coisas:

1 - preço do tempo: o valor do dinheiro no tempo: medida pela taxa sem risco (Rf)

2 - preço do risco: o prêmio por assumir risco sistemático: é a diferença entre a taxa de retorno esperada na carteira de mercado (E(Rm) e a taxa de retorno livre de risco (Rf), ou seja  E(Rm) - Rf, este componente é o prêmio que o mercado oferece por assumir um risco sistemático médio além de esperar pelo dinheiro. 

3 - a quantidade de risco sistemático: medida por B(beta), esta é a quantidade de risco sistemático presente em determinado ativo ou carteira em relação ao arisco médio de um ativo.  Ele representa a inclinação da reta de regressão do modelo de mercado. A  interpretação comum (e correta) do beta é que ele mede a sensibilidade do retorno do ativo à variação do retorno do mercado (FAMA e FRENCH, 2007). O beta do ativo i é calculado através da covariância de seu retorno e do retorno do mercado dividida pela variância do retorno do mercado. 

Essa relação pode ser escrita da seguinte forma: 

Retorno esperado = Preço do tempo  (Rf) + Preço do risco ((E(Rm) - Rf) * Quantidade de risco (Beta)

As hipóteses básicas do modelo CAPM são:

- assume-se grande eficiência informacional

- os ativos assumem o comportamento de uma distribuição normal

- os investidores são racionais; avessos ao risco; e maximizam a sua utilidade esperada. 

-  as decisões de investimento são tomadas com base no retorno esperado e desvio-padrão

- a concorrência é perfeita e não há custos de transação, tais como impostos, taxas ou quaisquer outras restrições para os investimentos no mercado;

- existe uma taxa de juros de mercado definida como livre de risco e que é a mesma para todos os investidores, os quais podem emprestar ou tomar emprestado, à mesma taxa de juros livre de risco, qualquer montante desejado.

Interpretação do Beta:
< 1: Quando o beta do ativo avaliado for menor que 1, ele poderá ser classificado como defensivo. Pois à medida que o mercado vier a sofrer baixa ou alta, o preço do ativo também sofrerá baixa ou alta menos que proporcional; ou seja, se o mercado sofrer baixa ou alta de aproximadamente 1%, o preço do ativo individual tenderá a sofrer queda ou alta menor que 1%. Por exemplo, se beta=0,80 e o mercado sofrer uma valorização de 15%, o retorno médio da ação será de 12% (0,80 x 15)
= 1:  Quando o beta do ativo avaliado for igual a 1, pode-se dizer que esse ativo é neutro, demonstrando que há uma correlação perfeita entre as taxas de retorno do ativo individual e as taxas de retorno do mercado como um todo; ou seja, quando o mercado sofrer baixa ou alta de 1%, o preço do ativo individual tenderá a sofrer baixa ou alta de 1%. 
> 1: Quando o beta do ativo avaliado for maior que 1, este poderá ser classificado como agressivo, significando que, à medida que o mercado sofrer baixa ou alta, o preço do ativo também sofrerá baixa ou alta mais que proporcional, ou seja, se o mercado sofrer baixa ou alta de aproximadamente 1%, o preço do ativo individual tenderá a sofrer baixa ou alta maior que 1%. Por exemplo, se beta=1,30, uma valorização média de 10% na carteira de mercado determina uma expectativa de rentabilidade de 13% na ação

É possível calcular manualmente o beta de ativos. Entretanto, geralmente, o analista utiliza uma série temporal com muitas observações, tornando o processo manual moroso e suscetível a erros. Há diversos softwares que podem ser utilizados para tal propósito. No Excel é possível realizar todos os cálculos necessários, mas o processo é moroso.  O R é um software amplamente utilizado em finanças por ser gratuito, contudo o seu manuseio não é trivial. O Stata possibilita a obtenção do coeficiente beta de uma forma rápida e eficiente utilizando somente os comandos para uma regressão OLS. Recomendo fortemente utilizar o Stata para aplicações em finanças.

Para fins estritamente didáticos, desenvolvemos uma rotina para calcular o beta de ativos, utilizando o Rstudio. Utilizamos como proxy para o retorno de mercado o índice S&P500. Calculamos o beta de uma carteira de investimentos formada por ações da Merck, Abbvie, Celgene e S&P500. O período analisado foi de 01/01/2013 a 31/12/2017. Os betas individuais obtidos foram 0,74; 1,55; 1,59,1,0, respectivamente. Com a diversificação, o beta da carteira obtido foi de 1,21.

Coeficiente de determinação:
o coeficiente de determinação (R2) é uma medida estatística que define a porcentagem de Y(variável dependente) que pode ser explicada pela equação de regressão linear. O valor de R2 varia de 0 a 1. Quanto mais próxima de 1, melhor se revela o ajustamento da reta de regressão aos valores. Em termos financeiros, R2 permite que se conheça a parte do risco de uma empresa explicada pelas condições de mercado, o denominado risco sistemático, e a parcela decorrente de variáveis especificas de uma empresa (1-R2). conhecida por risco não sistemático ou diversificável. Se um determinado modelo apresentar R2=0,74  significa que 74% do risco da ação é de natureza sistemática (taxas de juros, politica econômica, etc), e 26% é decorrente de risco não sistemático.

No caso das empresas analisadas acima temos os seguintes retornos anuais:
 CELG
2013-12-31     1.10896153 
2014-12-31     0.32402201
2015-12-31     0.07062400
2016-12-30    -0.03348365
2017-12-29    -0.09840172

ABBV         
2013-12-31     0.51231398
2014-12-31     0.23915926
2015-12-31    -0.09474327
2016-12-30     0.05705599
2017-12-29     0.54439477

MRK

2013-12-31     0.19565212
2014-12-31     0.13466538
2015-12-31    -0.06990669
2016-12-30     0.11453993
2017-12-29    -0.04416509

Indice S&P 500
2013-12-31     0.27275860
2014-12-31     0.11289182
2015-12-31    -0.00812493
2016-12-30     0.09643402
2017-12-29     0.19384416

Existem modelos de precificação de ativos que são alternativos ao CAPM, tais como o APT e Fama & French.

O modelo de Precificação por Arbitragem (APT - abitrage pricing theory) foi originalmente sugerido por Ross, em 1976, no artigo "The arbitrage theory of capital asset pricing". O modelo APT está fundamentado no conceito de preço único. Para o modelo por arbitragem, ativos iguais devem ser negociados pelo mesmo preço. O modelo APT decompõe o risco em duas partes: risco de mercado e risco específico da empresa. As principais variáveis do modelo APT são mensuradas através de análise fatorial e os retorno dos investimentos são apresentados em duas grandes partes: fatores comuns e fatores específicos.

O modelo de Fama e French é mais recente e foi desenvolvido no início da década de 1990. O modelo inclui  na precificação dos ativos as variáveis explicativas de tamanho da empresa e valor.  O tamanho é dado pela diferença entre o retorno de uma carteira de ações de pequenas e grandes empresas. Valor é a diferença entre o retorno de empresas de maior e de menor valor.

Resumindo, o modelo CAPM considera somente um fator de risco. O modelo APT sugere a presença de diversos fatores macroeconômicos, que afetam o desempenho das ações, na medição do prêmio de risco esperado. O Modelo Fama & French propõe três fatores: mercado, tamanho e valor na formulação de cálculo do retorno das ações.  O modelo CAPM certamente é o mais adotado na prática para estudar a relação risco-retorno.